Случайное компактное множество

Случайное компактное множество — случайная величина со значениями в компактных множествах. Случайные компактные множества используются при изучении аттракторов случайных динамических систем.

Определение

Пусть ${\mathcal {K}}$ — множество всех компактных подмножеств $\mathbb {R} ^{2}$. На ${\mathcal {K}}$ можно определить метрику Хаусдорфа $h$:

$h(K_{1},K_{2})=\inf \left\{\varepsilon >0:K_{1}\subseteq K_{2}\bigoplus B(0,\varepsilon ),K_{2}\subseteq K_{1}\bigoplus B(0,\varepsilon )\right\}.$

С такой метрикой $h$ множество ${\mathcal {K}}$ становится полным сепарабельным метрическим пространством. Соответствующие открытые подмножества порождают борелевскую $\sigma$-алгебру ${\mathfrak {B}}_{K}$ множества ${\mathcal {K}}$.

Тогда случайное компактное множество — это измеримая функция из некоторого вероятностного пространства $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbf {P} )$ в измеримое пространство $({\mathcal {K}},{\mathfrak {B}}_{K})$. Случайные компактные множества в этом смысле — то же, что случайные замкнутые множества у Матерона. Следовательно, их распределение задается вероятностями

$\mathbf {P} (X\cap K=\emptyset ),\ \ \ K\in {\mathcal {K}}.$

Распределение случайного компактного выпуклого множества также задается системой всех вероятностей включения $\mathbf {P} (X\subset K).$

Связанные определения

• Для $K=\{x\}$ определена вероятность $\mathbf {P} (x\in X)$, которая удовлетворяет соотношению $\mathbf {P} (x\in X)=1-\mathbf {P} (x\not \in X).$ Тогда можно задать функцию покрытия $p_{X}$ формулой $p_{X}(x)=\mathbf {P} (x\in X),\;x\in \mathbb {R} ^{2}.$ Функция покрытия принимает значения между $0$ и $1$ и может интерпретироваться как математическое ожидание индикаторной функции $\mathbf {1} _{X}(x):$ $p_{X}(x)=\mathbf {E} \mathbf {1} _{X}(x).$
• Множество $b_{X}$ всех $x\in \mathbb {R} ^{2}$ с $p_{X}(x)>0$ называется базой $X.$
• Множество $k_{X}$ всех $x\in \mathbb {R} ^{2}$ с $p_{X}(x)=1$ называется ядром, множеством фиксированных точек, или существенным минимумом $e(X)$. Если $X_{1},X_{2},\ldots$ — это последовательность независимых одинаково распределенных случайных компактных множеств, то почти наверное $\bigcap _{i=1}^{\infty }X_{i}=e(X)$ и $\bigcap _{i=1}^{\infty }X_{i}$ сходится почти наверное к $e(X).$

Литература

• Матерон Ж. (1978) Случайные множества и интеrральная геометрия, пер. с англ., М.: Мир.
• Stoyan D., and H.Stoyan (1994) Fractals, Random Shapes and Point Fields. John Wiley & Sons, Chichester, New York.